new5 free

بررسي ارتعاشات گرافن تک¬لايه، در محیط الاستيک، تحت بارگذاري فشاري دومحوره بر مبناي تئوري الاستيسيته گرادیان کرنش اینرسی

59.000تومان

توضیحات

دانلود و مشاهده قسمتی از متن کامل پایان نامه :

دانشگاه صنعتی اصفهان

دانشکده­ مکانيک

بررسي ارتعاشات گرافن تک­لايه، در محیط الاستيک، تحت بارگذاري فشاري دومحوره بر مبناي تئوري الاستيسيته گرادیان کرنش اینرسی

پايان‌نامه کارشناسی ارشد مهندسی مکانیک-طراحی کاربردی

…………………………

استاد راهنما

دکتر حسن نحوی

شهریور 1393

 

فهرست

عنوان                                                                                                                            صفحه

چکیده 1

فصل اول

مقدمه. 2

1- 1 مقدمه­ای بر نانوکامپوزیت­های گرافنی.. 2

1-1-1 تاریخچه: 2

1-1-2 معرفی: 3

1-1-3 روش­های ساخت گرافن.. 4

1-1-4 خواص: 6

1-1-5 کاربردها: 8

1-2 مقدمه­ای بر روش­های تحلیل مواد نانوساختار:……………………………………………………………………………………. 8

1-2-1 تئوری تنش دوگانه. 9

1-2-2 تئوری الاستیسیته­ی غیرمحلی ارینگن.. 9

1-2-3 تئوری گرادیان کرنش-اینرسی.. 10

1-3 مروری بر پژوهش­های انجام شده 11

1-4معرفی پایاننامه­ی کنونی و اهداف آن……………………………………………………………………………………………………. 13

فصل دوم

معادلات حرکت.. 14

2-1فرمولبندی معادله­ی حرکت نانوصفحه. 14

2-2 روش مربعات دیفرانسیلی بهبودیافته. 25

2-3 فرم عادی معادلات به­دست آمده از تئوری گرادیان کرنش-اینرسی.. 28

فصل سوم

نتیجه­های عددی.. 29

3-1 مقدمه. 29

3-2 اعتبارسنجی روش حل.. 30

3-3 بررسی اثرات تعداد نقاط شبکه­بندی بر فرکانسهای طبیعی سازه 30

3-4 بررسی اثرات پارامترهای اندازه در تئوری گرادیان کرنش-اینرسی بر فرکانس سازه 31

3-5 بررسی اثرات نیروی اعمالی بر فرکانس­های سازه 36

3-6 بررسی تأثیر ضرایب وینکلر و پاسترناک بر فرکانس­های طبیعی.. 37

3-7 بررسی اثرات تغییر دما بر فرکانس­های طبیعی سازه 39

3-8 شکل مودهای سازه 40

فصل چهارم

نتیجه­گیری و پیشنهادات.. 42

4-1 مقدمه. 42

4-2 نتیجه­گیری.. 42

4-3 پیشنهادات.. 43

مراجع. 44

پیوست الف

فرم عادی معادلات به­دست آمده از تئوری گرادیان کرنش-اینرسی.. 48

 

چکیده

در بسیاری از کاربردها گرافن (تک­لایه یا چندلایه) درون ماتریس پلیمری به صورت کامپوزیت مورد استفاده قرار می­گیرد. در این پژوهش گرافن ایده­آل با شکل پیوندی شش­ضلعی بین اتم­ها، واقع در ماتریس پلیمری، با شرایط مرزی مختلف شامل گیردار و ساده  تحت بارگذاری فشاری خارجی دومحوره و بارگذاری حرارتی مورد بررسی قرار می­گیرد. این کامپوزیت به شکل تک­لایه در نظر گرفته می­شود.

 

برای مدل­سازی ابتدا جابه­جایی­ها با استفاده از تئوری تغییرشکل برشی مرتبه سوم تخمین زده می­شوند و با استفاده از دو مدل وینکلر و پاسترناک ماتریس پلیمری مدل­سازی خواهد شد. با استفاده از تئوری گرادیان کرنش-اینرسی معادلات تعادل دینامیکی به­دست آمده و با استفاده از روش مربعات دیفرانسیلی بهبود یافته معادلات حل می­شوند. توزیع دما در سطح سازه با تابعیت خطی نسبت به طول و عرض صفحه، و به شکل بار گسترده فرض می­شود. فرکانس­های طبیعی و شکل مودهای مربوطه که وابسته به پارامترهای سیستم­اند در دماهای مختلف محاسبه می­گردد و اثر پارامترهایی مانند ضرایب وینکلر و پاسترناک، پارامترهای گرادیان کرنش-اینرسی و همچنین تعداد نقاط شبکه­بندی مورد بررسی قرار می­گیرد.  از فرکانس­های طبیعی بسیار بالای به­دست آمده در این پژوهش می­توان سختی بالای سیستم را نتیجه گرفت.[1]

فصل اول

مقدمه

 

 

 

 

 

 

 

 

1-1            مقدمه­ای بر نانوکامپوزیت­های گرافنی

1-1-1 تاریخچه:

در گرافیت[2] (یکی دیگر از آلوتروپ­های کربن)، هر کدام از اتم­های چهار­ظرفیتی کربن با سه پیوند کووالانسی به سه اتم کربن دیگر متصل شده­اند و یک شبکه گسترده را تشکیل داده­اند. این لایه خود بر روی لایه­ای کاملا مشابه قرار گرفته­است و به این ترتیب، چهارمین الکترون ظرفیت نیز یک پیوند واندروالسی که ضعیف­تر از کووالانسی هست تشکیل می­دهد. به همین دلیل لایه­های گرافیت به راحتی روی هم سر می­خورند و می­توانند در نوک مداد به­کار بروند. گرافن ماده­ای است که در آن تنها یکی از این لایه­های گرافیت وجود دارد و به عبارتی چهارمین الکترون پیوندی کربن، به عنوان الکترون آزاد باقی مانده­است.

هر­چند نخستین بار در سال 1947 فیلیپ والاس[3] درباره­ی گرافن[4] نوشت و از آن زمان تلاش­های زیادی برای ساخت آن صورت گرفته­بود اما، قضیه مرمین – وانگر[5] در مکانیک آماری و نظریه میدان­های کوانتومی وجود داشت که ساخت یک ماده دوبعدی را غیرممکن و غیرپایدار می­دانست. اما به هر حال در سال 2004، آندره گایم[6] و کنستانتین نووسلف[7]، از دانشگاه منچستر موفق به ساخت این ماده شده و نشان دادند که قضیه مرمین – وانگر نمی­تواند کاملا درست باشد. جایزه نوبل فیزیک 2010 نیز به خاطر ساخت ماده­ای دوبعدی به این دو دانشمند تعلق گرفت.

1-1-2 معرفی:

گرافن ساختار دو بعدی از یک لایه منفرد شبکه لانه زنبوری کربنی می­باشد. در گرافن، هر اتم کربن با سه اتم کربن دیگر پیوند داده­است. این سه پیوند در یک صفحه قرار دارند و زوایای بین آن­ها با یکدیگر مساوی و برابر با ˚120 است. در این حالت، اتم­های کربن در وضعیتی قرار می‏گیرند که شبکه­ای از شش­ضلعی­های منتظم را ایجاد می­کنند (شکل 1-1).

شکل 1-1 ساختار اتمی صفحه گرافن: در این شکل اتم‏های کربن با نقاط سیاه و پیوندها با نقطه چین نمایش داده شده‏اند

البته این ایده­آل­ترین حالت یک صفحه­ی گرافن است. در برخی مواقع، شکل این صفحه به گونه­ای تغییر می‏کند که در آن پنج­ضلعی­ها و هفت­ضلعی­هایی نيز ایجاد می­شود.

گرافن به علت داشتن خواص فوق­العاده در رسانندگی الکتریکی و رسانندگی گرمایی، چگالی بالا و تحرک پذیری حامل­های بار، رسانندگی اپتیکی [1] و خواص مکانیکی [2] به ماده‌ای منحصربفرد تبدیل شده است. این سامانه جدید حالت جامد به واسطه این خواص فوق­العاده به عنوان کاندید بسیار مناسب برای جایگزینی سیلیکان در نسل بعدی قطعه‌های فوتونیکی و الکترونیکی در نظر گرفته شده است و از این رو توجه کم سابقه­ای را در تحقیقات بنیادی و کاربردی به خود جلب کرده است. طول پیوند کربن ـ کربن در گرافن در حدود 0.142 نانومتر است.

ساختار زیربنایی برای ساخت نانو ساختارهای کربنی، تک لایه گرافن است که اگر بر روی هم قرار بگیرند توده سه­بعدی گرافیت را تشکیل می­دهند که بر هم کنش بین این صفحات از نوع واندروالسی با فاصله­ی بین صفحه­ای 0.335 نانومتر می‌باشد. اگر تک­لایه گرافیتی حول محوری لوله شود نانولوله­کربنی شبه­یک­بعدی واگر به صورت کروی پیچانده شود فلورین شبه­صفر­بعدی را شکل می‌دهد. لایه‌های گرافینی از 5 تا 10 لایه را به نام گرافن کم لایه و بین 20 تا 30 لایه را به نام گرافن چند لایه، گرافن ضخیم و یا نانو­بلورهای نازک گرافیتی، می‌نامند. گرافن خالص تک لایه ازخود خواص شبه فلزی نشان می‌دهد [3].

1-1-3 روش­های ساخت گرافن

امروزه روش­های بسیار متنوعی برای ساخت گرافن بکار برده می­شود که از متداول­ترین آن­ها می­توان روش­های لایه­برداری مکانیکی، لایه­برداری شیمیایی، سنتز شیمیایی و رسوب بخار شیمیایی[8] را نام برد. برخی روش­های دیگری همانند شکافتن نانو­لوله­های­کربنی [4] و ساخت با امواج ماکرویو [5] نیز اخیرا بکار­برده شده­اند. یک نمای کلی از روش­های ساخت گرافن در زیر آمده است:

  1. از پایین به بالا (از اتم کربن به صفحه گرافن)
  • شکافت گرمایی
  • رسوب بخار شیمیایی [6]
  • پلاسما
  • گرمایی

  1. از بالا به پایین (از گرافیت به صفحه گرافن)
  • لایه برداری مکانیکی [7]
  • چسب نواری
  • تیزی نوک میکروسکوپ نیروی اتمی[9]
  • لایه برداری شیمیایی [8]
  • سنتز شیمیایی [9]
  • امواج فرا صوتی
  • روش شیمیایی

در سال 1975گروه لانگ[10] [10] برای اولین بار گرافیت کم­لایه روی سطح بلور پلاتین را با استفاده از روش رسوب بخار شیمیایی تولید کردند.

در سال 1999 گروه لو[11] [11] با استفاده از تیزی نوک میکروسکوپ نیروی اتمی، لایه برداری مکانیکی را بر روی یک گرافیت پیرولیتی به منظور تهیه گرافن تک لایه انجام دادند. با این وجود، گرافن تک­لایه برای اولین بار در سال2004 توسط گروه نووسلف تولید و گزارش شد. آن‌ها از چسب­نواری برای جدا کردن لایه­های گرافن از سطح زیرلایه استفاده کردند. این روش توانایی و قابلیت تولید لایه‌های متنوع گرافن را دارد و علاوه بر آن، آسان نیز هست. روش لایه برداری مکانیکی توسط قابلیت تولید لایه‌های گرافیتی کم لایه و چند لایه را دارد اما ضخامت گرافیت به­دست آمده توسط این روش برابر با 10 نانو متر است که تقریبا برابر با 30 لایه گرافن تک­لایه است.

در روش لایه برداری شمیایی، فلزات قلیایی بین صفحات گرافیت پراکنده شده در محلول، قرار می‌گیرند. به طور مشابه روش سنتز شیمیایی شامل اکسید گرافیت پراکنده در محلول به­دست آمده از کاهش هیدروژن است. تولید گرافن توسط این روش یکی از بهترین روش‌ها برای تولید گرافن در ابعاد بزرگ است. در این روش کربنی که بوسیله گرما جدا شده بر روی سطح یک فلز فعال قرار می‌گیرد و در دمای بالا و تحت فشار اتمسفر یا فشار کم، یک شبکه لانه زنبوری تشکیل می‌دهد. از آنجایی که این روش در یک کوره گرمایی انجام می‌گیرد آن را روش رسوب بخار شیمیایی گرمایی می‌نامند. هنگامی­که این روش شامل رشد به کمک پلاسما باشد، روش رسوب بخار شیمیایی پلاسمای غنی شده نامیده می‌شود.

هریک از این روش‌ها مزایا و معایب خاص خود را دارند، به عنوان مثال روش لایه برداری مکانیکی توانایی و قابلیت ساخت گرافن یک لایه تا چند لایه را دارد اما همانندی نمونه های بهدست آمده بسیار پایین است، همچنین ساخت گرافن در ابعاد بزرگ یکی از چالش­های پیش روی این روش است. برای تهیه گرافن تک لایه و چند لایه می‌توان از روش چسب نواری استفاده کرد اما تحقیقات گسترده‌ی بیشتری برای توسعه این روش جهت استفاده در قطعه‌های الکترواپتیکی لازم است. روش‌های سنتز شیمیایی از روش‌های دمای پایین هستندکه این ویژگی موجب می‌شود ساخت گرافن بر روی انواع زیر لایه‌های با دمای محیط، به ویژه زیرلایه‌های پلیمری آسان‌تر شود؛ با این حال، همگنی و یکسانی گرافن تولید شده در ابعاد بزرگ، حاصل از این روش، مطلوب نیست. از سوی دیگر ساخت گرافن از اکسیدهای گرافن کاهش یافته اغلب به علت نقص در فرایند کاهش موجب ناکاملی درخواص الکترونی گرافن می‌شود. برآرایی گرافن وگرافیت سازی گرمایی بر روی سطح کربید­سیلسیوم از دیگر روش‌های تولید گرافن هستند اما دمای بالای این فرایندها و عدم توانایی انتقال بر روی سایر زیر لایه‌ها از محدودیت‌های این روش­ها هستند.

1-1-4 خواص:

  1. ساختار الکترونیکی:

گرافن با سایر مواد متداول سه­بعدی متفاوت است. گرافن طبیعی یک نیمه­فلز یا یک نیمه­رسانا با حفره نواری صفر است. درک ساختار الکترونیکی گرافن اولین قدم برای یافتن ساختار نواری گرافیت است. اولین بار خیلی قبل­تر در سال 1947 والاس متوجه خطی بودن رابطه­ی انرژی و عدد موج کریستال در نزدیکی شش­گوشه­ی منظقه­ی بریلوئن شش­ضلعی دوبعدی گرافن برای انرژی­های پایین، که منجر به جرم مؤثر صفر برای الکترون­ها و حفره­ها می­شود، شد. به خاطر این رابطه­ی پاشندگی خطی در انرژی­های پایین، الکترون­ها و حفره­ها در نزدیکی این شش نقطه، که دو تا از آن­ها غیر یکسان هستند، همانند ذرات نسبیتی­ای که با معادله­ی دیراک برای ذرات با اسپین نیم­صحیح توصیف می شوند، رفتار می­کنند. به همین خاطر به این الکترون­ها و حفره­ها فرمیون­های دیراک و به آن شش نقطه، نقاط دیراک گفته می­شود.

محاسبات نشان می­دهد که گرافن در جهت گیری زیگ­زاگی همواره فلز است.

شکل 1-2) جهت­گیری زیگ­زاگی گرافن

همچنین محاسبات نشان می­دهد که گرافن در جهت­گیری دسته­صندلی، بسته به عرض لایه، می­تواند فلز و یا نیمه­رسانا باشد.

شکل 1-2) جهت­گیری دسته­صندلی گرافن

  1. ترابرد الکترونی:

در فیزیک تحرک­پذیری الکترون یا به طور خلاصه تحرک­پذیری کمیتی است که به کمک آن می‌توان سرعت رانش الکترون را در میدان الکتریکی که به آن اعمال شده، محاسبه کرد.

این مفهوم با عنوان عمومی­تر تحرک­پذیری الکتریکی برای هر نوع بار الکتریکی که در یک سیال و تحت میدان الکتریکی قرار دارد تعریف می‌شود. در مواد نیمه­رسانا علاوه بر تحرک­پذیری الکترون‌ها، تحرک­پذیری حفره نیز قابل اندازه­گیری است. تحرک­پذیری معمولا به میدان الکتریکی اعمال شده وابسته‌است و با افزایش دما افزایش می‌یابد.

نتایج تجربی از اندازه­گیری­های ترابرد الکترونی نشان می­دهند که گرافن دارای تحرک­پذیری الکترونی بسیار بالایی در دمای اتاق می­باشد، با مقادیر گزارش شده­ای بالاتر از  15,000. همچنین تقارن اندازه­گیری­های تجربی رسانندگی نشان می­دهد که تحرک­پذیری برای الکترون­ها و حفره­ها باید یکسان باشد. در بازه­ی دمایی بین K10 تا K100، تحرک­پذیری تقریبا به دما وابسته نیست، که بیان کننده­ی این امر است که مکانیزم قالب پراکندگی، پراکندگی ناقص است. پراکندگی توسط فونون­های آکوستیک گرافن موجب یک محدودیت ذاتی بر تحرک­پذیری در دمای اتاق در حد  200,000  برای چگالی حامل  1012 می شود. مقاومت متناظر ورقه­های گرافن در حد 6-10 خواهد بود. این مقاومت از مقاومت نقره، ماده ی شناخته شده به عنوان دارنده­ی کمترین مقاومت در دمای اتاق، کمتر است.

  1. خواص اپتیکی:

خواص اپتیکی منحصر به فرد گرافن، موجب بروز یک شفافیت بالای غیر منتظره برای یک تک­لایه­ی اتمی با یک مقدار ساده­ی شگفت انگیز شده است، یک تک لایه­ی گرافن πα ≈ 2.3% از نور سفید فرودی بر روی خود را جذب می کند که در آن α ثابت ساختار ریز شبکه می باشد. این امر نتیجه­ی ساختار الکترونیکی کم انرژی غیر معمول گرافن تک لایه است که طرحی به ساختار نوار انرژی الکترونی ـ حفره ای گرافن می دهد تا آن­ها در نقاط دیراک به هم برسند، که به طور کیفی از سایر نوارهای انرژی فشرده­ی مرتبه­ی دو معمول متفاوت است. بر مبنای مدل از ساختار نواری گرافن، فواصل بین اتمی، مقادیر پرش و فرکانس به هنگام محاسبه­ی رسانندگی اپتیکی با استفاده از معادلات فرنل در حد لایه های نازک از بین می رود. این امر به صورت تجربی تأیید شده ولی هنوز مقادیر اندازه­گیری شده به اندازه­ی کافی برای محاسبه­ی ثابت ساختار ریز دقیق نبوده است. می­توان حفره نوار انرژی گرافن را از صفر تا eV 0.25 (در حدود طول موج پنج میکرومتر) به وسیله­ی اعمال ولتاژ در دمای اتاق به یک ترانزیستور اثر میدان دو دروازه ای ساخته شده از یک گرافن دو لایه ای، تنظیم نمود. همچنین نشان داده شده است که پاسخ اپتیکی نانو نوارهای گرافنی نیز در ناحیه­ی تراهرتز به وسیله ی اعمال یک میدان مغناطیسی قابل تنظیم است. علاوه بر این نشان داده شده است که سیستم های گرافن ـ گرافن اکسید از خود رفتار الکتروکرومیک بروز می­دهند، که اجازه می­دهند هم خواص اپتیکی خطی و هم خواص اپتیکی فوق سریع را تنظیم نمود.

  1. برخی خواص دیگر:

از دیگر خواص گرافن می­توان به نشت­ناپذیر بودن، بیشترین قابلیت کشش در بین مواد تاکنون شناخته شده و رسانایی حرارتی بالا اشاره کرد. [13،12]

1-1-5 کاربردها:

  • از آنجایی که گرافن یک رسانای شفاف است می تواند کاربردهایی چوننمایشگرهای لمسی، سلول خورشیدی و پانل های نوری داشته باشد که در این مورد گرافن می تواند جایگزین اینیدیوم- تین اکسید  (ITO)گردد که بسیار گران قیمت می باشد.
  • جوهرهاي رسانا
  • استفاده شدن به‌جای فیبرهای کربن در کامپوزیت‌ها
  • استفاده شدن به‌جای سیلیکون‌های نیمه‌رسانا در ترانزیستورها
  • جاسازی کردن گرافن در پلاستیک که می‌تواند پلاستیک مذکور را رسانا کند
  • امکان بالابردن دوام باتری‌ها با استفاده از غبار گرافنی
  • ایجاد پلاستیک‌هایی سخت‌تر، مستحکم‌تر و سبک‌تر
  • ایجاد توربین‌های بادی کارآمدتر
  • ایجاد ایمپلنت‌های مستحکم‌تر (پزشکی)
  • کاربرد در تجهیزات ورزشی
  • ایجاد ابرخازن‌ها
  • کاربرد برای پیشرفت صفحات لمسی
  • کاربرد در صفحه­نمایش­های کریستال مایع[12]
  • کاربرد در OLEDها
  • امکان ایجاد شیوه‌ی جدیدی در ترتیب‌گذاری مواد توارثی[13] به‌وسیله‌ی ایجاد نانوشکافی در گرافن
  • ترانزيستورهاي با ظرفيت تراهرتز
  • صفحه نمايش لمسي قابل خم شدن
  • سنسور کرنش
  • و بسیاری کاربردهای دیگر ……………………………….

 

 

1-2              مقدمه­ای بر روش­های تحلیل مواد نانوساختار:

در ساختارهاي با ابعاد کوچک نيروهاي چسبندگي بين مولکولي و بين اتمي قابل چشم­پوشي نيست، زیرا اثرات زيادي بر خواص استاتيکي و ديناميکي مواد دارد و از تغییر خواص در لبه­ها نمی­توان صرف­نظر کرد.

سه روش کلي براي تحليل مواد نانو ساختار وجود دارد:

  • روش­های تجربی مثل انجام آزمایش
  • روش­های آماری مانند شبيه­سازي ديناميک مولکولي
  • روش­های تحلیلی همانند تحلیل با استفاده از تئوري الاستيسیته

در روش اول کنترل آزمايش در ابعاد نانو کاری بسیار مشکل و هزینه­بر می­باشد، علاوه بر آن احتمال خطا در آزمایش در ابعاد نانو بسیار بالا است و در روش دوم انجام محاسبات سنگين و بسیار پرهزينه است. اما در استفاده از روش سوم اگرچه اين تئوري­ها مستقل از ابعاد هستند ولی نمي­توان اثرات اندازه را در آن­ها پيش­بيني کرد. استفاده از تئوري محلي براي تحلیل در ابعاد کوچک منجر به نتايج بيش از حد تقريبي مي­شود [14].

در ادامه به بررسی تعدادي از تئوري­هاي محيط پيوسته مستقل از بعد که اثرات ابعاد کوچک را در نظر ميگيرند می­پردازیم.

1-2-1 تئوری تنش دوگانه[14]

در این تئوری بیان می­شود که در ابعاد نانو، نیروهای واندروالسی باعث ایجاد گشتاور زوج­نیرویی در جسم می­شوند که قابل چشم­پوشی نیست [15]. در مكانيك ذره‌­ها، براساس نظريه­ی مارتي و تورنتون  در سال 1995 نيروي وارد به ذره قابل ملاحظه نمي­باشد مگر وقتی كه ذره شتاب بگيرد. این نیرو برمبنای میزان جابه­جایی یا شتاب ذره و یا با استفاده از تغییرات انرژی جنبشی ذره قابل محاسبه می­باشد. در صورتی­که در مكانيك كلاسيك ذره‌­ها افزون بر اين حالت، در حالت تعادل ماده هم می­تواند نیروی درخور توجهی به آن اعمال شود. گشتاور زوج­نیرویی، وارد به ذره كه باعث چرخش مي­شود، نيز بر آن موثر مي­باشد. در این روش با درنظر گرفتن المان حجمی اطراف ذره، زوج­نیرو و گشتاور حاصل از آن به این المان وارد می­شود. با استفاده از روی هم­گذاری معادله­های تنش دوگانه و نتیجه­های به­دست آمده از مكانيك ذره‌­ها، مي توان معادله­های تنش دوگانه را براي مواد نانو به­دست آورد [16].

1-2-2 تئوری الاستیسیته­ی غیرمحلی ارینگن[15]

تئوری­های الاستیسیته غیرمحلی فرم اصلاح شده تئوری­های الاستیسیته کلاسیک می­باشند که در آن­ها اثر مقیاس کوچک به صورت ضریبی، رابطه­ی بین تنش غیرمحلی و تنش کلاسیک را بیان می­نماید. در دهه­ی 1970 تئوری الاستیسیته غیرمحلی توسط ارینگن [17] معرفی شد. در این تئوری فرض اساسی بر وابستگی تنش در یک نقطه به کرنش در تمام نقاط است در صورتی­که در تئوری­های کلاسیک تنش در یک نقطه فقط به کرنش در آن نقطه وابسته است.

1-2-3 تئوری گرادیان کرنش-اینرسی[16]

میندلین [18] تئوری الاستیسیته­ای را با در نظر گرفتن تفاوت­هایی در عبارات متناظر با انرژی جنبشی و چگالی انرژی کرنشی در مقیاس نانو و میکرو، مدل الاستیسیته­ی متفاوتی را استخراج نمود. او در مدل خود علاوه بر جابه­جایی­ها و کرنش­های موجود در ابعاد ماکرو عبارات اضافه­تری چون تغییر شکل­های در اندازه­ی میکرو و همچنین تغییر شکل­های نسبی که اختلاف تغییر شکل­های در مقیاس ماکرو و میکرو می­باشند و از همه مهم­تر گرادیان عبارات مربوط به تغییر شکل­های میکرو را لحاظ نمود. براساس این تئوری برای ماده­ی همسانگرد و همگن، تعداد 18 پارامتر مستقل در روابط ساختاری موجود خواهد بود که این خود باعث پیچیدگی و دشواری حل معادلات الاستیسته گردید. پس از میندلین پژوهشگران زیادی سعی بر ساده­تر نمودن این معادلات کرده و مدل­هایی که در آن­ها با پارامتر­های کم­تری سر و کار داشتند، ارائه شد.  گیتمن و همکارانش با ترکیب معادلات مربوط به گرادیان کرنش که حاصل اصلاحات تئوری میندلین بود با معادلات گرادیان اینرسی توانست تئوری­ای تحت عنوان گرادیان کرنش-اینرسی ارائه دهد.

1-3              مروری بر پژوهش­های انجام شده

در تحلیل ساختاری مواد در ابعاد بزرگ از تغییرات نیرو و تنش در لبه­ها صرفنظر شود اما این تغییرات در ابعاد کوچک قابل صرفنظر نمی­باشند، لذا بررسی سازه­های با ابعاد کوچک نیازمند در نظر گرفتن این موضوع است. امروزه با توجه به اهمیت نانوسازه­ها پژوهش­های فراوانی در زمینه تحلیل خواص آن­ها صورت گرفته است که به بررسی تأثیر عامل­های گوناگون بر کمانش بحرانی و ارتعاشات سازه پرداخته­اند. همچنین اثرات ابعاد کوچک بر پایه­ی مدل­سازی­های مختلف و شرایط مرزی و هندسی متفاوت مورد بررسی قرار گرفته است. که در ادامه به بخشی از آن­ها اشاره شود.

بابایی و شهیدی [14] اثرات ابعاد کوچک در کمانش نانو صفحه قرار گرفته در ماتریس الاستیک را با استقاده از تئوری الاستیسیته غیرمحلی و روش گلرکین مورد بررسی قرار دادند. نتیجه­ای که آن­ها از این بررسی به­دست آوردند بیانگر این امر بود که نیروی کمانش بحرانی بدون بعد با افزایش نسبت طول به عرض کاهش می­یابد، همچنین آن­ها دریافتند که افزایش پارامتر غیرمحلی تأثیر عکس بر نیروی کمانش بحرانی بدون بعد می­گذارد.

بهفر ونقدآبادي [19] با در نظر گرفتن گرافن به عنوان يک صفحه ارتوتروپيک و استفاده از اصل هميلتون، فرکانس­هاي طبيعي چندلايه گرافن قرار گرفته در پليمر با شرايط مرزي تکيه­گاه ساده ­را به صورت پارامتري بر مبناي طول و عرض و ضخامت صفحه محاسبه و سپس فرکانس­هاي طبيعي و شکل مودهاي يک دولايه را نيز به­دست آوردند. نتیجه­ی بررسی­های آن­ها نشان­دهنده­ی آن بود که افزایش نسبت طول به عرض نانوصفحه باعث کاهش در فرکانس طبیعی می­شود، همچنین می­توان دریافت که افزایش نسبت نیروهای واندروالسی بین گرافن و ماتریس پلیمری به نیروهای واندروالسی بین صفحات گرافن باعث افزایش فرکانس طبیعی ورق گرافن می­شود.

پارادهان و فاديکار [20] با استفاده از تئوري الاستيسيته غيرمحلي ارينگن اثرات ابعاد کوچک را در يک تک­لايه و چند­لايه گرافن واقع در ماتريس پليمري مورد بررسي قرار دادند. برای حل معادلات از روش ناوير استفاده کرده و تغییرات فرکانس­هاي طبيعي صفحات گرافن را با تغيير دادن  ابعاد صفحه و مقدار پارامتر غيرمحلي مورد بررسي قرار دادند. در این پژوهش با تعریف نسبت فرکانسی به صورت نسبت فرکانس محاسبه شده با تئوری غیرمحلی به فرکانس محاسبه شده با تئوری محلی، تأثیر پارامترهای مختلف بر نسبت فرکانسی محاسبه شده است و نتایج به­دست آمده نشان می­دهد که افزایش لایه­ها باعث افزایش نسبت فرکانسی می­شود. همچنین در یک کامپوزیت تک­لایه افزایش ضخامت باعث کاهش نسبت فرکانسی می­گردد، نتایج دیگری که از این پژوهش به­دست آمد این بود که فرکانس طبیعی غیرمحلی همواره از فرکانس طبیعی محلی کمتر است و با افزایش ضرایب وینکلر و پاسترناک نسبت فرکانسی به سمت یک نزدیک می­شود

 پارادهان و مورمو [21] به بررسي اثرات ابعاد کوچک در تک­لايه گرافن واقع برروي ماتريس پليمري با استفاده از مدل­های وينکلر و پاسترناک براي ماتريس پليمري پرداختند. پس از آن نيروي کمانش بحراني را با استفاده از دو تئوري غيرمحلي و محلي به­دست­آورده و با هم مقايسه نمودند. آن­ها در این پژوهش به این نتیجه دست یافتند که افزایش طول ماده مورد بررسی نتیجه­ای برعکس افزایش مقدار پارامتر غیرمحلی دارد یعنی با افزایش طول، خطای استفاده از تئوری محلی بسیار ناچیز می­شود.

انصاري و همکارانش [22] با بکارگيري تئوري ميندلين و استفاده از تئوري الاستيسيته غيرمحلي ارينگن وابستگي اثر ابعاد کوچک به ابعاد هندسي، شرايط مرزي، مودهاي ارتعاشي و ماتريس الاستيک احاطه کننده را مورد بررسي قرار دادند و معادلات به­دست آمده را با استفاده از روش المان محدود حل نمودند. آن­ها نتیجه­ای مشابه نتیجه­ی به­دست آمده در مورد تأثیر ضرایب وینکلر و پاسترناک بر فرکانس طبیعی در پژوهش پارادهان و فادیکار به­دست آوردند. تأثیر شرایط مرزی بر فرکانس نیز از دیگر نتایج حاصله است، بدین صورت که اگر شرایط مرزی از حالت ساده به گیردار تغییر کند نسبت فرکانس طبیعی غیرمحلی به فرکانس طبیعی محلی افزایش خواهد یافت.

 شن و همکارانش [23] با در نظر گرفتن اثرات ابعاد کوچک، با قرار دادن اثرات به عنوان ضريبي در تنش و وارد کردن آن در معادلات و همچنین در نظر گرفتن خواص وابسته به دما و ابعاد و شبيه­سازي آن با ديناميک مولکولي و استفاده از تئوري الاستيسيته غيرمحلي، وابستگي ارتعاشات غيرخطي تک­لايه گرافن به شرايط حرارتي را مورد بررسي قرار دادند. در نهایت نتایجی که در این پژوهش مشهود است اختلاف ناچیز نتایج روش دینامیک مولکولی با روش الاستیسیته غیرمحلی ارینگن می­باشد و در کنار آن می­توان دریافت که افزایش دما باعث افزایش نسبت فرکانس طبیعی غیرخطی به فرکانس طبیعی خطی می­شود. این نشان­دهنده آن است که در دماهای بالا ارتعاشات صفحه مورد بررسی از نوع غیرخطی می­باشد و تحلیل خطی آن همراه با خطا خواهد بود.

صماعی و همکارانش [24] به بررسی کمانش تک­لایه­ی گرافن واقع در ماتریس الاستیک تحت شرایط تکیه­گاهی ساده در چهار طرف با در نظر گرفتن تئوری الاستیسیته غیرمحلی ارینگن برای اثرات ابعاد کوچک و همچنین استفاده از مدل پاسترناک به همراه ضریب وینکلر برای ماتریس الاستیک پرداختند. آن­ها همچنین از تئوری تغییرشکل برشی مرتبه اول برای تقریب جابه­جایی­های سازه بهره بردند و نتایج آن­ها نشان­دهنده این امر بود که افزایش طول صفحه میزان خطای استفاده از تئوری الاستیسیته کلاسیک را کاهش می­دهد. تأثیر ضریب وینکلر بر نسبت نیروی کمانش بحرانی به­دست آمده از دو تئوری غیرمحلی و کلاسیک از دیگر نتایج حاصله است که نشان می­دهد هرچه این ضریب افزایش یابد اختلاف این دو تئوری بیشتر می­شود.

انصاری و روحی [25] بیانی تحلیلی برای مطالعه­ی کمانش ورق تک­لایه گرافن تحت بارگذاری دومحوره ارائه نمودند. آن­ها با استفاده از تئوری الاستیسیته غیرمحلی ارینگن اثرات ابعاد کوچک صفحه­ی مورد بررسی را بر معادلات حرکت آن اعمال نمودند. در این پژوهش نیروی کمانش بحرانی برای شش حالت شرایط مرزی و تحت بارگذاری یکنواخت گسترده و استاتیک بر حسب پارامترهایی همچون خواص ماده و ابعاد صفحه ارائه گردیده­است.

جمعه­زاده و سعیدی [26] ارتعاشات دامنه بالای ورق چندلایه گرافن را مورد بررسی قرار دادند. در این پژوهش با استفاده از اصل همیلتون معادلات دیفرانسیل جزئی وابسته غیرخطی حرکت، بر مبنای مدل هندسی ون­کارمن[17] و با استفاده از تئوری الاستیسیته غیرمحلی، برای سه حالت متفاوت از شرایط مرزی به­دست آمد. پس از حل این معادلات نتایج برای ورق تک­لایه، دولایه و سه­لایه گرافن زیگزاگ و دسته­صندلی  به صورت جدا محاسبه گردید. از نتایج این پژوهش می­توان به تفاوت در اثر شرایط مرزی در نسبت فرکانسی غیرخطی به خطی سازه، در دولایه و سه­لایه اشاره نمود به­طوری­که در دولایه شرط مرزی چهارطرف تکیه­گاه ساده بیشترین نسبت فرکانسی را ایجاد می­نماید در صورتی­که در سه­لایه بیشترین نسبت فرکانسی متعلق به شرط مرزی چهار طرف تکیه­گاه گیردار می­باشد.

پارادهان و کومار [27] با در نظر گرفتن ورق گرافن به عنوان سازه­ای ارتوتروپیک[18] و استفاده از تئوری الاستیسیته غیرمحلی برای در نظر گرفتن اثرات ابعاد کوچک سازه، به بررسی ارتعاشات آن پرداختند. در این پژوهش از روش مربعات دیفرانسیلی برای  حل معادلات به­دست آمده استفاده گردیده­است. آن­ها در پژوهشی دیگر [28] با در نظر گرفتن این سازه در ماتریس الاستیک، از مدل پاسترناک نیز برای مدل­سازی این ماتریس بهره برده­اند.

اسدی و فرشی [29] با استفاده از تئوری الاستیسیته غیرمحلی به بررسی پایداری صفحه­ی کامپوزیتی چندلایه گرافن تحت بارگذاری غیریکنواخت تک­محوره پرداختند.

انصاری و همکارانش [30] نیز در بررسی رفتار ارتعاشی ورق چند لایه از تئوری الاستیسیته غیرمحلی بهره جسته­اند.

در تمام پژوهش­های پیشین می­توان دریافت که با افزایش مقدار پارامتر غیرمحلی نیروی کمانش بحرانی بدون بعد و نسبت نیروی بحرانی غیرمحلی به نیروی بحرانی محلی و همچنین نسبت فرکانس طبیعی غیرمحلی به فرکانس طبیعی محلی کاهش می­یابند به عبارت دیگر می­توان گفت فاصله نتایج دو تئوری الاستیسیته محلی و غیرمحلی افزایش می­یابد.

1-4معرفی پایان ­نامه ­ی کنونی و اهداف آن

در این پایان­نامه تلاش می­گردد اثرات نیروهای مرزی و ماتریس الاستیک بر ارتعاشات نانو کامپوزیت گرافن بررسی شود. در این پژوهش نانوصفحه از جنس گرافن واقع در ماتریس پلیمری تحت بارگذاری فشاری از دوطرف مفروض می­باشد. تغییرات دمایی سازه به صورت نیروی گسترده­ی درون صفحه در نظر گرفته می­شود. برای مدل­سازی جابه­جایی­های سیستم از تئوری تغییر شکل برشی مرتبه سوم بهره خواهیم برد. در ادامه تأثیر ضرایب وینکر و پاسترناک بر فرکانس­های طبیعی سازه مورد بررسی قرار خواهد گرفت و همچنین اثر شرایط مرزی مختلف بر فرکانس­هاو پاسخ ارتعاشی سازه بررسی خواهد شد. علاوه بر موارد گفته شده با به­کارگیری تئوری گرادیان کرنش-اینرسی بر روی تک­لایه کامپوزیتی، اثرات مقیاس کوچک نانوصفحه بررسی می­شود. برای اعتبارسنجی روش حل، نتایج با نتایج بررسی­های مشابه قبلی مقایسه شده و نتایج در نمودارهای مختلف نشان داده می­شوند.

 در فصل بعد به نحوه به­دست آوردن معادلات حرکت سازه­های بیان شده با استفاده از تئوری گرادیان کرنش-اینرسی پرداخته شده. فصل سوم این پایان­نامه شامل نتایج عددی به­دست آمده از حل معادلات حرکت و همچنین مقایسه تأثیرات پارامترهای مختلف بر پاسخ­های سازه می­باشد. و در فصل انتهایی به جمع­بندی نتایج و پیشنهاداتی برای پژوهش در این راستا پرداخته شده است.

 

فصل دوم

معادلات حرکت

این فصل از پایان­نامه به بررسی روند به­دست آوردن معادلات حرکت نانو صفحات پرداخته است. در ابتدا چگونگی استخراج معادله­ی حرکت سیستم با در نظر گرفتن اثرات مقیاس کوچک نانوصفحه با استفاده از تئوری­های الاستیسیته بیان شده، پس از آن معادلات با روش مربعات دیفرانسیلی بهبودیافته از حالت مشتقات جزئی خارج شده و به شکل مجموعه­ای از معادلات عادی درمی­آیند تا در فصل بعد بتوان با حل این معادلات فرکانس­های طبیعی و شکل مودهای سازه را استخراج نمود.

2-1            فرمول­بندی معادله­ی حرکت نانوصفحه

مراجع

1- R. R. Nair, P. Blake, A. N. Grigorenko, et al, Fine structure constant defines visualtransparency of grapheme, Science 320(2008),1308-1312

2- A. K. Geim and P. Kim, Carbon wonderland, Scientific American 298(2008):9097.

3- K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, et al, Two-dimensional gas of massless Dirac fermions in grapheme, Nature 438(2005):197200

4- L. Y. Jiao, X. R. Wang, G. Diankov, H. L. Wang and H. J. Dai, Facile synthesis of highquality graphene nanoribbons, Nature Nanotechnology 5(2010), 321325

5- G. Q. Xin, W. Hwang, N. Kim, S. M. Cho, and H. Chae, A graphene sheet exfoliated with microwave irradiation and interlinked by carbon nanotubes for high-performance transparent flexible electrodes, Nanotechnology 21(2010)

6- A. Reina, S. Thiele, X. T. Jia, et al, Growth of large-area single- and bi-layer graphene by controlled carbon precipitation on polycrystalline, Nano Research 2(2009), 509516

7- K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov and et al, Electric field effect in atomically thin carbon films, Science 306(2004), 666669

8- M. J. Allen, V. C. Tung and R. B. Kaner, Honeycomb carbon: A review of grapheme, Chemical Reviews 110(2010), 132145

9- S. Park and R. S. Ruoff, Chemical methods for the production of graphenes, Nature Nanotechnology 4(2009), 217224

10- Lang, B. A. LEED, Study of the deposition of carbon on platinum crystal surfaces, Surface Science 53 (1975), 317329

11- X. K. Lu, M. F. Yu, H. Huang, and R. S. Ruoff, Tailoring graphite with the goal of achieving single sheets, Nanotechnology 10(1999), 269272

12-S. Mikhailov, Physics and applications of grapheme-theory, Rijeka, Croatia, (2011)

13- S. Mikhailov, Physics and applications of grapheme-experiments, Rijeka, Croatia, (2011)

14- H. Babaei and A. R. Shahidi, Small-scale effects on the buckling of quadrilateral nanoplates based on nonlocal elasticity theory using the Galerkin method, Arch Appl Mech, 81(2011), 10511062

15-N. A. Fleck,J. W. Hutchinson, Strain gradient plasticity, Advances in Applied Mechanics, 33(1997),  295-3615.

16- F. Yang, A. C. M. Chong, D. C. C. Lam, P. Tong, Couple stress based strain gradient theory for elasticity,  International Journal of Solids and Structures,  39(2002), 2731-2743.

17- P. Lu, P. Q. Zhang, H. P. Lee, C. M. Wang, J. N. Reddy, Non-local elastic plate theories, Proceedings of The Royal Society A, 463 (2007), 3225-3240

18- R. Mindlin, Micro-structure in linear elasticity, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 16 (1964), 52-78

19- K. Behfar, R. Naghdabadi, Nanoscale vibrational analysis of a multi-layered graphene sheet embedded in an elastic medium, Composites Science and Technology, 65 (2005), 1159-1164

20- S. C. Pradhan, J. K. Phadikar, Small scale effect on vibration of embedded multilayered graphene sheets based on nonlocal continuum models, Physics Letters A, 373 (2008), 1062-1069

21- S. C. Pradhan, T. Murmu, Small scale effect on the buckling analysis of single-layered graphene sheet embedded in an elastic medium based on nonlocal plate theory, Physica E, 42 (2009), 1293-1301

22- R. Ansari, R. Rajabiehfard, B. Arash, Nonlocal finite element model for vibrations of embedded multi-layered graphene sheets, Computational Materials Science, 49 (2010), 831-838

23- Le Shen, Hui-Shen Shen, Chen-Li Zhang, Nonlocal plate model for nonlinear vibration of single layer graphene sheets in thermal environments, Computational Materials Science, 48 (2010), 680-685

24- Samaei. A. T, Abbasion. S, Mirsayar. M. M, Buckling analysis of a single-layer graphene sheet embedded in an elastic medium based on nonlocal Mindlin plate theory, Mechanics research communications, 38 (2011), 481-485

25- Ansari. R, Rouhi. H, Explicit analytical expressions for the critical buckling stresses in monolayer grapheme sheet based on nonlocal elasticity, solid state communications 152 (2012), 56-59

26- Jomehzadeh. E, Saidi. A. R, A study on large amplitude vibration of multilayerd grapheme sheets, Computational materials science, 50 (2011) 1043-1051

27- Pradhan. S. C, Kumar. A, Vibration analysis of orthotropic grapheme sheets using nonlocal elasticity theory and differential quadrature method, Composite structures, 93 (2011), 774-779

28- Pradhan. S. C, Kumar. A, Vibration analysis of orthotropic grapheme sheets embedded in Pasternak elastic medium using nonlocal elasticity theory and differential quadrature method, Computational materials science, 50 (2010), 239-245

29- Assadi. A, Farshi. B, Stability analysis of grapheme based laminated composite sheets under non-uniform inplane loading by nonlocal elasticity, Applied mathematical modelling, 35 (2011), 4541-4549

30- Ansari. R, Arash. B, Rouhi. H, Vibration characteristics of embedded multi-layered grapheme sheets with different boundary conditions via nonlocal elasticity, Composite structures 93 (2011), 2419-2429

31- Gitman, I. M., Askes, H., Aifantis, E.C. “The Representative Volume Size in Static and Dynamic Micro-Macro Transitions”, International Journal of Fracture, Vol. 135,pp. L3-L9, 2005.

32-H. Askes, E. C.  Aifantis, Gradient elasticity in statics and dynamics: An overview of formulations, length scale identification procedures, finite element implementations and new results, International Journal of Solid and Structures48(2011), 1962-1990.

33- J. N. Reddy, Mechanics of Laminated Composite Plate and Shells, CRC press 1997

34- C. M.Wang, J. N. Reddy,K. H. Lee,  Shear Deformable Beam and Plates: Relationship Whit Classical Solution, Elsevier 2000.

35-U. S. Gupta, R. Lai, S. Sharma, Effect of Pasternak Foundation on Axisymmetric Vibration of Non-uniform Polar Orthotropic Annular Plate, Int. J. of Appl. Math and Mech. 4(2008), 9-25.

36- C. shu, Differential Quadrature and Its Application in Engineering, Springer(2000).

37- Z. Girgin, Y. Yilmaz, A. Cetkin, Application of The Generalized Differential Quadrature Method to Deflection and Buckling Analysis of Structural Components, Journal of Engineering Sciences, 6(2000), 117-124.

38-S. Noga, R. Bogacz, Free Vibration of the Timoshenko Beam interacting with the Winkler Foundation, Symulacja w Badaniach I Rozwoju 2(2011), 209-223.

کلمات کلیدی: گرافن، ارتعاشات نانوصفحه، مربعات دیفرانسیلی بهبودیافته، تغییرشکل برشی مرتبه سوم

[2]  Graphite

[3]  Philip valas               

[4]  Graphene

[5] Mermin-Vanger theory

[6]  Andre Gaym

[7]  Constantin Novolslov

[8]  Chemial vapor deposition (CVD)

[9]  Atomic Force Microscopy Tips

[10]  Lang

[11]  Lu

[12]  Liquid crystal display (LCD)

[13]  Deoxyribonucleic acid (DNA)

[14]  Coupled stress theory

[15] Nonlocal elasticity theory of Eringen

[16] Strain-inertia gradient theory

[17]  Von karman

[18]  orthotropic

دیدگاهها

هیچ دیدگاهی برای این محصول نوشته نشده است.

اولین نفری باشید که دیدگاهی را ارسال می کنید برای “بررسي ارتعاشات گرافن تک¬لايه، در محیط الاستيک، تحت بارگذاري فشاري دومحوره بر مبناي تئوري الاستيسيته گرادیان کرنش اینرسی”

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

+ 53 = 54